Operații matematice de bază

operatii matematice

Ce sunt operațiile de bază?

Operațiile de bază în matematică sunt : adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Unii profesori mai iau în considerare încă trei operații: puteri, radicali și logaritmi. Aceste operații de bază se aplică atât numerelor, cât și expresiilor algebrice.

Când operațiile de bază sunt efectuate cu numere, vorbim despre aritmetică. Atunci când se efectuează cu expresii algebrice, vorbim despre algebră. În ambele, domeniul operațiilor de bază este fundamental, precum și în domeniul matematicii mai avansate și a aplicațiilor sale la alte științe.

În acest sens, calculatoarele electronice sunt de mare ajutor, în ciuda acestui fapt, este foarte recomandat să experimentați rezoluția „manual” a acestor operații pentru a înțelege pe deplin semnificația și utilitatea fiecăreia.

Să ne uităm la cele 7 tipuri principale de operații de bază:

Adunarea

Adăugarea constă în adăugarea sau alăturarea elementelor de natură similară. Să fie valorile „a” și „b”, care atunci când sunt adunate împreună dau numărul c:

a + b = c

Cantitățile a și b se numesc adunări , iar rezultatul c se numește sumă . De exemplu:

5 + 3 = 8

Exemple de adunări

  • 1 + 3 = 4
  • 4 + 4 = 8
  • 8 + 5 = 13
  • 13 + 6 = 19

Proprietățile sumei

Comutativitate

Ordinea suplimentelor nu modifică suma, adică:

a + b = b + a

5 + 3 = 3 + 5 = 8

Asociativitate

Ordinea în care sunt grupate suplimentele nu modifică rezultatul. De exemplu, dacă există trei completări, puteți adăuga primele două și adăugați ultimul la rezultat. Sau puteți adăuga ultimele două și la care se adaugă primul, astfel:

(a + b) + c = a + (b + c)

(10 + 4) + 25 = 10 + (4 + 25) = 39

Element neutru

Este elementul care, atunci când este adăugat la altul, are ca rezultat acest al doilea element. Această valoare este 0, deoarece:

0 + a = 0

0 + 5 = 5

Opus

Opusul unui număr este unul care, adăugat la acesta, dă 0 ca rezultat. Dacă numărul este „a”, opusul său este „−a”, astfel încât:

a + (−a) = 0

12 + (−12) = 0

Scădere sau diferența

Să fie un număr „a”, care se numește descăzut , deoarece valoarea acestuia va scădea în funcție de un alt număr „b”, numit scăzător . Scăderea constă în eliminarea cantității „b” din „a”, pentru a da naștere la noua cantitate „c”, numită scădere sau diferență :

a – b = c

Dacă scăderea se efectuează cu numere naturale, descăzutul este întotdeauna mai mare decât scăzătorul.

7 – 3 = 4

Dar scăderea poate fi realizată și cu numere întregi, fracționate, reale sau complexe, dacă este definită ca suma opusului și legea semnelor este aplicată în mod corespunzător:

a – b = a + (- b)

Unde (- b) este opusul lui b. De exemplu, să presupunem că doriți să faceți scăderea:

3 – 14

Apoi este exprimat ca suma opusului lui 14, care este – 14:

3 + (- 14)

Și legea semnelor spune că atunci când se adaugă două numere de semne diferite, se scade cel mai mare și cel mai mic, iar rezultatul este plasat cu semnul celui mai mare:

3 + (- 14) = – 11

Este important să rețineți că scăderea nu este comutativă, adică în general:

a – b ≠ b – a

Exemple de scăderi

  • 10 – 3 = 7
  • 20 – 7 = 13
  • 13 – 8 = 5
  • 30 – 20 = 10

Înmulțirea sau produsul

Între două cantități „a” și „b”, numite factori , produsul său constă în adăugarea lui b, de câte ori indică valoarea lui a. Înmulțirea este notată cu simbolul „×” sau cu punctul de înălțime medie „∙”:

a × b = a ∙ b = c

De exemplu, produsul 4 × 6 înseamnă că 6 trebuie adăugat de patru ori:

4 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24

Sau, alternativ, cele 4 pot fi adăugate de șase ori, pentru a obține același rezultat, deoarece ordinea factorilor nu schimbă produsul:

4 × 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

Exemple de multiplicare

  • 7 × 3 = 21
  • 8 × 6 = 48
  • 9 × 3 = 27
  • 5 × 5 = 25

Proprietățile înmulțirii

Comutativitate

Ordinea factorilor nu modifică produsul, după cum s-a menționat anterior:

a × b = b × a

3 × 5 = 5 × 3 = 15

Asociativitate

Când aveți produsul din trei sau mai mulți factori, acesta poate fi grupat în cel mai convenabil mod:

(a × b) × c = a × (b × c)

(4 × 3) × 7 = 4 × (3 × 7) = 84

Element neutru

Când înmulțiți orice valoare cu elementul neutru, valoarea nu este modificată, astfel încât elementul neutru menționat este 1:

a × 1 = a

5 × 1 = 5

Reciproc sau invers

Inversul multiplicativ al unui element este o altă valoare astfel încât produsul ambelor este 1. Fie elementul „a”, atunci reciprocul său este:

Dacă un număr „a” este înmulțit cu suma (b + c), înmulțirea poate fi distribuită între adunări astfel:

a × (b + c) = a × b + a × c

De exemplu:

3 × (10 + 12) = 3 × 10 + 3 × 12 = 30 + 36 = 66

Împărțirea

Acesta constă în distribuirea unei sume numite dividende între altele, care este divizorul , coeficientul fiind rezultatul operației. Pentru a-l indica, simbolurile „÷”, „:” și „/” sunt utilizate interschimbabil, cu dividendul la stânga simbolului și divizorul la dreapta.

Împărțirea poate fi exactă dacă divizorul este conținut exact în dividend de un anumit număr de ori, dar dacă nu, există o parte care a rămas, numită restul .

Fie „a” dividendul, „b” divizorul, „c” coeficientul și „r” restul, apoi:

a = (b × c) + r

De exemplu:

7 ∟3
1 2

În acest exemplu, a = 7, b = 3, c = 2 și r = 1 și, de fapt, se verifică că:

7 = (3 × 2) + 1 = 6 + 1

În ceea ce privește împărțirea, este important să rețineți că:

  1. În general a ÷ b ≠ b ÷ a, prin urmare împărțirea nu este comutativă.
  2. Dividendul poate fi orice număr, inclusiv 0, dar 0 între orice valoare este întotdeauna 0: 0 ÷ b = 0
  3. Împărțirea cu 0 nu este definită, prin urmare divizorul poate avea orice valoare cu excepția 0.

Exemple de împărțiri

  • 9 ÷ 3 = 3
  • 21 ÷ 3 = 7
  • 40 ÷ 2 = 20
  • 100 ÷ 4 = 25

Putere , ridicarea la putere

Ridicarea la putere constă în multiplicarea unei expresii, numită bază, de la sine de un anumit număr de ori, dată de o valoare n numită exponent . Dacă baza este „a”, atunci:

n = a × a × a… × a

Exemple de ridicari la putere sunt:

3 = 2 × 2 × 2 = 8

(−3) 4 = (- 3) × (−3) × (−3) × (−3) = 81

Trebuie avut în vedere că atât baza a, cât și exponentul n pot fi numere reale, inclusiv 0. Puterile respectă aceste legi:

  1. n × a m = a n + m
  2. n ÷ a m = a n – m
  3. (a n ) m = a n ∙ m
  4. 0 = 1
  5. 1 = a
  6. n ∙ b n = (a ∙ b) n
  7. n ÷ b n = (a ÷ b) n

Dacă exponentul este negativ, acesta poate fi rescris astfel:

De exemplu:

Radicali

Este operația inversă ridicării la putere. De exemplu, dacă un anumit număr x ridicat la exponentul n este a:

n = a

Deci valoarea lui x este:

Unde „a” este cantitatea subradicală și „n” este indicele rădăcinii. De exemplu:

Modul general de a scrie o rădăcină ca exponent fracționar este:

Indicele rădăcinii este numitorul fracției din exponent, iar numărătorul este puterea mărimii subradicale. De exemplu:

Logaritmi

Pentru a afla cât valorează „n” în expresia b n = c, este definită operația numită logaritm . Prin urmare, un logaritm este un exponent:

n = log b c

Valoarea „b” se numește baza logaritmului.

De exemplu, se știe că 2 3 = 8, prin urmare este scris:

3 = log 2 8

Care se citește astfel „Logaritmul din baza 2 din 8 este egal cu 3”, ceea ce înseamnă că logaritmul este exponentul la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul.

Alt exemplu:

81 = 3 4

Prin urmare, 4 este exponentul la care trebuie înmulțit 3 pentru a obține 81:

log 3 81 = 4

Este important să evidențiem următoarele aspecte:

  1. Nu există logaritmi de numere negative sau 0.
  2. Baza este întotdeauna pozitivă

Proprietățile logaritmilor

  1. Logaritmul bazei : log b b = 1, deoarece b 1 = b
  2. Logaritmul lui 1 este 0 , deoarece orice număr crescut la 0 este egal cu 1: log b 1 = 0.
  3. Produs : log b (a ∙ b) = log b a + log b b
  4. Coeficient: log b (a ÷ b) = log b a – log b b
  5. Putere : log b (a n ) = n ∙ log b a

Un exemplu de aplicare a logaritmului produsului este următorul:

log 10 (2 ∙ 4) = log 10 2 + log 10 4 = 0,30103 + 0,60206 = 0,90309

Logaritmul din baza 10 sau logaritmul zecimal este cel mai utilizat. În orice calculator științific apare pur și simplu ca „jurnal”. Cititorul poate verifica rezultatul cu un calculator științific sau cu orice calculator online.

Share on facebook
Facebook
Share on twitter
Twitter
Share on pinterest
Pinterest
Share on linkedin
LinkedIn
Share on whatsapp
WhatsApp
Share on email
Email
Adaugă anunț pe Omieanunțuri.com
Matematică

Teorema lui Thales din Milet

Cuprins1 Prima teoremă a lui Thales1.1 Teorema lui Thales pentru triunghiuri similare2 A doua teoremă a lui Thales2.1 Dovada celei de-a doua teoreme a lui

Lasă un răspuns