Cuprins
Thales a fost matematician și geometrist, dar și un filosof recunoscut pentru marea sa acuitate. Se spune despre el că a reușit să măsoare înălțimea Marii Piramide folosind una dintre teoremele sale. Vom explica prima și a doua teoremă a lui Thales, cu exemple și exerciții rezolvate.
Prima teoremă a lui Thales
Fie două linii într-un plan, numite L 1 și L 2 (în verde în figura 1) și un grup de linii paralele între ele care intersectează L 1 și L 2 .
Liniile paralele segmentează liniile L 1 și L 2 : AB, A’B ‘, BC, B’C’ și așa mai departe. Următoarea relație de proporționalitate este stabilită între segmentele opuse:
x/7 = 2/3
3x = 14
x = 14/3 ≈ 4,7
Teorema lui Thales pentru triunghiuri similare
Teorema poate fi extinsă la triunghiuri după cum urmează: să presupunem că avem un triunghi ABC pe care este desenat un segment paralel cu una dintre laturile sale. În acest fel, se obțin două triunghiuri similare: ABC și DEC, ale căror unghiuri interne sunt congruente, adică au aceeași măsură.
Când aveți două triunghiuri așezate în acest fel, se spune că se află în poziția Thales.
O relație proporțională între segmente este menționată în același mod ca și pentru liniile paralele:
Care este echivalent cu celălalt, între laturile corespunzătoare ale fiecărui triunghi, numite și laturi omoloage:
Iată un exemplu în care puteți aplica teorema lui Thales pentru triunghiuri similare. Aflați cât valorează latura necunoscută x.
Triunghiurile formate sunt similare, deoarece au un unghi comun, iar laturile x și 4 cm sunt paralele.
Prin urmare, proporționalitatea dintre laturile corespunzătoare este:
x = (4 × 3,5) ÷ 6 cm = 2,3 cm
A doua teoremă a lui Thales
Această teoremă se referă la un triunghi al cărui vârfuri sunt puncte care aparțin unui cerc, ceea ce înseamnă că este înscris în el.
În acest caz, teorema stabilește că, atâta timp cât ipotenuza corespunde diametrului circumferinței, triunghiul astfel desenat este un triunghi dreptunghiular, adică unul dintre unghiurile sale interne măsoară 90º, așa cum se poate vedea în figura 5 de pe stânga.
Vă poate interesa , de asemenea, articolul : tipuri de unghiuri
Dovada celei de-a doua teoreme a lui Thales
Dovada teoremei este foarte simplă. În figura din dreapta sus, segmentul AO a fost desenat în roșu, pentru a forma cele două triunghiuri AOC și AOB, care sunt isosceli, deoarece laturile OA, OC și OB sunt raze ale cercurilor și, prin urmare, măsoară la fel.
În acest fel, triunghiurile au două unghiuri egale, care sunt respectiv α și β. Acum, pentru triunghiul original ABC, ca pentru orice triunghi, este adevărat că suma măsurilor unghiurilor sale interne este egală cu 180º, deci:
α + (α + β) + β = 180º
Prin urmare:
2α + 2β = 180º
Prin urmare:
2 (α + β) = 180º
α + β = 90º
Ceea ce dovedește că triunghiul ABC are un unghi intern de 90 ° și, prin urmare, este un triunghi dreptunghiular.
Exemplu
În figura următoare triunghiul ABC este isoscel și este drept (triunghi izorectangular), cu perimetrul circumferinței egal cu 25 cm. Cât timp sunt segmentele AC și AB?
Perimetrul circumferinței este lungimea sa L, dată în funcție de diametrul său D de formula:
L = πD
Prin urmare, diametrul, care este segmentul CB, măsoară:
D = CB = L / π = 25 cm / π = 7,96 cm.
Deoarece triunghiul este isoscel, aceasta înseamnă că unghiurile sale acute măsoară fiecare 45º. Deoarece ipotenuza triunghiului este diametrul circumferinței, se poate utiliza un raport trigonometric de 45º, de exemplu:
sin 45º = AC / CB
AC = CB × sin 45º = 7,96 cm × sin 45º = 5,64 cm
Partea AB are aceeași măsurare: 5,64 cm, deoarece triunghiul este isoscel.
Aplicațiile teoremei lui Thales
Prima teoremă a lui Thales poate fi utilizată pentru a găsi distanțe care nu sunt ușor de măsurat. Se spune că Thales a călătorit în Egipt și acolo a stabilit, într-un mod foarte ingenios, înălțimea Marii Piramide.
Pentru aceasta, a fost necesar să se măsoare umbra acesteia pe suprafața deșertului, plus înălțimea și umbra unei mize introduse vertical în ea. Astfel se formează două triunghiuri similare, deoarece razele soarelui au o incidență paralelă.
În figură, înălțimea piramidei este y 1 și umbra ei este x 1 , în timp ce înălțimea mizei este y 2 (unii cronicari susțin că Thales și-a folosit propria înălțime) și umbra ei este x 2 . Deoarece triunghiurile sunt similare, se formează următoarea relație de proporționalitate:
Fiind foarte ușor să ștergeți înălțimea piramidei și 1 :
y 1 = x 1 ∙ (y 2 ÷ x 2 )
