Teorema lui Thales din Milet

Teorema lui Thales

Thales a fost matematician ╚Öi geometrist, dar ╚Öi un filosof recunoscut pentru marea sa acuitate.┬áSe spune despre el c─â a reu╚Öit s─â m─âsoare ├«n─âl╚Ťimea Marii Piramide folosind una dintre teoremele sale. Vom explica prima ╚Öi a doua teorem─â a lui Thales, cu exemple ╚Öi exerci╚Ťii rezolvate.

Care este teorema lui Thales?

Teorema lui Thales┬ádin Milet se refer─â de┬áfapt la mai multe teoreme ale geometriei atribuite ├«n╚Ťeleptului grec antic Thales, care a┬átr─âit 624-546 ├«.Hr. ├«n Milet, Turcia de┬áast─âzi.

Care este prima teorema a lui Thales ?

Prima teorem─â┬áse refer─â la un grup de segmente ce determin─â dou─â linii drepte paralele ├«n plan.┬áAceste segmente se afl─â ├«ntr-o rela╚Ťie propor╚Ťional─â care se extinde pe laturile a dou─â triunghiuri, cu condi╚Ťia ├«ndeplinirii anumitor condi╚Ťii.
Aceast─â teorem─â este extrem de util─â ├«n practic─â, deoarece permite determinarea ├«n─âl╚Ťimii structurilor foarte ├«nalte sau greu accesibile, f─âr─â a fi nevoie s─â le m─âsur─âm direct.┬áTocmai asta a f─âcut Thales c├ónd a m─âsurat ├«n─âl╚Ťimea Marii Piramide.

Care este cea de a doua teorem─â a lui Thales ?

A┬ádoua teorem─â a lui Thales┬áleag─â punctele ce apar╚Ťin unui cerc cu un triunghi dreptunghiular ├«nscris ├«n el, a c─ârui ipotenuz─â coincide cu diametrul s─âu.

Prima teorem─â a lui Thales

Fie două linii într-un plan, numite L 1 și L 2 (în verde în figura 1) și un grup de linii paralele între ele care intersectează L 1 și L 2 .

Liniile paralele segmenteaz─â liniile L 1 ╚Öi L 2 : AB, A’B ‘, BC, B’C’ ╚Öi a╚Öa mai departe. Urm─âtoarea rela╚Ťie de propor╚Ťionalitate este stabilit─â ├«ntre segmentele opuse:

Aplicarea primei teoreme a lui Thales pentru a determina m─âsura segmentului

x/7 = 2/3

3x = 14

x = 14/3 Ôëł 4,7

Teorema lui Thales pentru triunghiuri similare

Teorema poate fi extins─â la triunghiuri dup─â cum urmeaz─â: s─â presupunem c─â avem un triunghi ABC pe care este desenat un segment paralel cu una dintre laturile sale.┬á├Än acest fel, se ob╚Ťin dou─â triunghiuri similare: ABC ╚Öi DEC, ale c─âror unghiuri interne sunt congruente, adic─â au aceea╚Öi m─âsur─â.

Dou─â triunghiuri ├«n pozi╚Ťie Thales, cu dou─â laturi paralele ╚Öi un unghi comun, sunt similare

C├ónd ave╚Ťi dou─â triunghiuri a╚Öezate ├«n acest fel, se spune c─â se afl─â ├«n pozi╚Ťia Thales.

O rela╚Ťie propor╚Ťional─â ├«ntre segmente este men╚Ťionat─â ├«n acela╚Öi mod ca ╚Öi pentru liniile paralele:

Care este echivalent cu celălalt, între laturile corespunzătoare ale fiecărui triunghi, numite și laturi omoloage:

Iat─â un exemplu ├«n care pute╚Ťi aplica teorema lui Thales pentru triunghiuri similare. Afla╚Ťi c├ót valoreaz─â latura necunoscut─â x.

Exemplu de aplicare a primei teoreme a lui Thales.

Triunghiurile formate sunt similare, deoarece au un unghi comun, iar laturile x și 4 cm sunt paralele.

Prin urmare, propor╚Ťionalitatea dintre laturile corespunz─âtoare este:

x = (4 ├Ś 3,5) ├Ě 6 cm = 2,3 cm

A doua teorem─â a lui Thales

Aceast─â teorem─â se refer─â la un triunghi al c─ârui v├órfuri sunt puncte care apar╚Ťin unui cerc, ceea ce ├«nseamn─â c─â este ├«nscris ├«n el.

├Än acest caz, teorema stabile╚Öte c─â, at├óta timp c├ót ipotenuza corespunde diametrului circumferin╚Ťei, triunghiul astfel desenat este un triunghi dreptunghiular, adic─â unul dintre unghiurile sale interne m─âsoar─â 90┬║, a╚Öa cum se poate vedea ├«n figura 5 de pe st├ónga.

V─â poate interesa , de asemenea, articolul : tipuri de unghiuri

A doua teorem─â a lui Thales afirm─â c─â triunghiul ├«nscris ├«n circumferin╚Ť─â este drept

Dovada celei de-a doua teoreme a lui Thales

Dovada teoremei este foarte simpl─â. ├Än figura din dreapta sus, segmentul AO a fost desenat ├«n ro╚Öu, pentru a forma cele dou─â triunghiuri AOC ╚Öi AOB, care sunt isosceli, deoarece laturile OA, OC ╚Öi OB sunt raze ale cercurilor ╚Öi, prin urmare, m─âsoar─â la fel.

├Än acest fel, triunghiurile au dou─â unghiuri egale, care sunt respectiv ╬▒ ╚Öi ╬▓. Acum, pentru triunghiul original ABC, ca pentru orice triunghi, este adev─ârat c─â suma m─âsurilor unghiurilor sale interne este egal─â cu 180┬║, deci:

╬▒ + (╬▒ + ╬▓) + ╬▓ = 180┬║

Prin urmare:

2╬▒ + 2╬▓ = 180┬║

Prin urmare:

2 (╬▒ + ╬▓) = 180┬║

╬▒ + ╬▓ = 90┬║

Ceea ce dovedește că triunghiul ABC are un unghi intern de 90 ° și, prin urmare, este un triunghi dreptunghiular.

Exemplu

├Än figura urm─âtoare triunghiul ABC este isoscel ╚Öi este drept (triunghi izorectangular), cu perimetrul circumferin╚Ťei egal cu 25 cm.┬áC├ót timp sunt segmentele AC ╚Öi AB?

Perimetrul circumferin╚Ťei este lungimea sa L, dat─â ├«n func╚Ťie de diametrul s─âu D de formula:

L = ¤ÇD

Prin urmare, diametrul, care este segmentul CB, m─âsoar─â:

D = CB = L / ¤Ç = 25 cm / ¤Ç = 7,96 cm.

Deoarece triunghiul este isoscel, aceasta ├«nseamn─â c─â unghiurile sale acute m─âsoar─â fiecare 45┬║.┬áDeoarece ipotenuza triunghiului este diametrul circumferin╚Ťei, se poate utiliza un raport trigonometric de 45┬║, de exemplu:

sin 45┬║ = AC / CB

AC = CB ├Ś sin 45┬║ = 7,96 cm ├Ś sin 45┬║ = 5,64 cm

Partea AB are aceeași măsurare: 5,64 cm, deoarece triunghiul este isoscel.

Aplica╚Ťiile teoremei lui Thales

Prima teorem─â a lui Thales poate fi utilizat─â pentru a g─âsi distan╚Ťe care nu sunt u╚Öor de m─âsurat.┬áSe spune c─â Thales a c─âl─âtorit ├«n Egipt ╚Öi acolo a stabilit, ├«ntr-un mod foarte ingenios, ├«n─âl╚Ťimea Marii Piramide.

Pentru aceasta, a fost necesar s─â se m─âsoare umbra acesteia pe suprafa╚Ťa de╚Öertului, plus ├«n─âl╚Ťimea ╚Öi umbra unei mize introduse vertical ├«n ea.┬áAstfel se formeaz─â dou─â triunghiuri similare, deoarece razele┬ásoarelui┬áau o inciden╚Ť─â paralel─â.

├Än figur─â, ├«n─âl╚Ťimea piramidei este y 1 ╚Öi umbra ei este x 1 , ├«n timp ce ├«n─âl╚Ťimea mizei este y 2 (unii cronicari sus╚Ťin c─â Thales ╚Öi-a folosit propria ├«n─âl╚Ťime) ╚Öi umbra ei este x 2 . Deoarece triunghiurile sunt similare, se formeaz─â urm─âtoarea rela╚Ťie de propor╚Ťionalitate:

Fiind foarte u╚Öor s─â ╚Öterge╚Ťi ├«n─âl╚Ťimea piramidei ╚Öi 1 :

1 = x 1 ÔłÖ (y 2 ├Ě x 2 )

Share on facebook
Facebook
Share on twitter
Twitter
Share on pinterest
Pinterest
Share on linkedin
LinkedIn
Share on whatsapp
WhatsApp
Share on email
Email
Adaug─â anun╚Ť pe Omieanun╚Ťuri.com
Matematic─â

Opera╚Ťii matematice de baz─â

Cuprins1 Ce sunt opera╚Ťiile de baz─â?2 Adunarea2.0.1 a + b = c2.1 Exemple de adun─âri2.2 Propriet─â╚Ťile sumei2.2.1 Comutativitate2.2.2 a + b = b + a2.2.3

Las─â un r─âspuns